Tercer criterio
Confiar en la potencialidad educativa de la actividad:
La maestra de sexto grado “Anita” se plantea en el caso particular del cálculo de área si:
I) conviene darle las formulas de las superficies de las distintas figuras.
II) Busca una actividad para que los alumnos las deduzcan.
Su duda se crea con el miedo de pensar que si les da una actividad no lleguen a encontrar las formulas, o que las formulen mal.
· Si les daría como datos las formulas: No sabe si eso les va a servir porque no cree que sus alumnos puedan entenderla, porque tal vez puedan resolver este ejercicio pero cree que no van a poder comprenderlas de tal modo que puedan usarlas en otra oportunidad.
· Si Buscará que los alumnos lleguen a la formula: Esto les va a servir para que ellos lo entiendan y para que puedan usarlo en un futuro. Pero el problema es que les demandaría mas tiempo y con eso no puede asegurar tampoco que todos van a llegar a la formula correcta.
Analizando estos planteos hechos por Anita, buscaría algo intermedio por falta de tiempo y para lograr que también construyan el pensamiento. Obviamente esto es relativo, ya que hay temas en los cuales es necesario detenerse a “explicar la obtención de su formula” y otros no tanto. Además no solo depende del tema a enseñar, sino también del poder de comprensión de cada alumno y del poder de transmisión de cada docente.
El título de una discípula de Piaget llamada Eleanor Duckworth dice:
“o se lo enseñamos demasiado pronto y no pueden aprenderlo, o demasiado tarde y ya lo conocen”
La manera en que resolvamos esto se verá claramente reflejada en nuestra manera de pensar la enseñanza y en la selección de actividades que hagamos.
Creo entender que brindándoles una breve pero justa reseña histórica ayudaría al docente a llamar la atención de los alumnos, obviamente eso depende de cómo transmitirá el docente esta información. Porque de hacerlo de una manera monótona o aburrida produciría un alejamiento de la atención de los alumnos y eso le podría jugar en contra.
Además de transmitir a los alumnos la historia de la temática a tratar, es necesario que conozcan ejemplos físicos o visuales del tema, ya que eso ayudaría aún más a razonar y comprender su contenido.
Muchos de los temas a explicar son difíciles de ejemplificar con sucesos físicos, pero aunque esto suceda, una previa investigación del tema ayudaría al docente a mejorar su método de enseñanza aunque tal vez no llegue a encontrar ejemplos claros.
El tema que elegí tratar para explicar mi criterio es el de Límite, y lo desarrollaría de esta manera:
Aplicaciones:
El concepto de límite lo encontramos en muchísimas situaciones de la vida diaria, por ejemplo:
Si encendemos la hornalla de la cocina y nos paramos a cierta distancia que no sintiéramos el calor, y comenzáramos a acercarnos extendiendo nuestra mano en dirección al fuego, vamos a notar que el calor empieza a aumentar hasta que nos vamos a quemar. Esto se debe a que nuestro cuerpo soporta cierta cantidad de temperatura, o sea que nos podemos acercar hasta un cierto límite antes de quemarnos.
Otro ejemplo que resulta claro es el del alcohol, ya que a medida que vamos ingiriendo alcohol va aumentando la borrachera hasta que llega un punto que vomitamos. Eso se debe a que nuestro cuerpo llega a soportar cierto límite de alcohol antes de rechazarlo.
(Este ejemplo lo utilizaría para llamar la atención de la clase y para distender la misma, además si los alumnos sonríen al escucharlo significará que están comprendiendo el tema)
Reseña histórica:
En el siglo XVII nace una rama de la matemática muy importante que es el cálculo de Límite, pero esto no es que surge espontáneamente en ese siglo, sino que ya se venía investigando desde la época de Arquímedes, y a medida que fue pasando el tiempo y avanzando la matemática se fue perfeccionando esta idea.
Inicialmente existía cierta conciencia basada en la intuición, los gráficos y ejemplos numéricos, la notación moderna del límite de una función se remonta a Bolzano (1817), Sin embargo, su trabajo no fue conocido mientras él estuvo vivo.
El Frances Agustín-Louis Cauchy en el año 1821 logró expresar la esencia de la idea de límite, pero la primera presentación rigurosa fue dada por Weierstrass en 1850 y esos son los métodos que hoy aún utilizamos para trabajar con límites.
Relación de dichos ejemplos con la matemática:
Tanto el ejemplo de acercar nuestra piel al fuego, o de aumentar el alcohol en nuestra sangre lo podemos representar en funciones que relacionen por ejemplo la distancia con la temperatura, y podemos analizar el limite de las mismas.
(Los dos ejemplos que voy a exponer a los alumnos se refieren a funciones que difieren en que para el primer ejemplo existe el límite y para el segundo ejemplo no existe el límite)
Por ejemplo:
Supongamos que la función que representa cualquiera de los ejemplos fuera f(x)= 2x+1, podemos estudiar como se comporta la función en un entorno cualquiera, por ejemplo cuando x=4
1º) armemos dos tablas de valores, una con números que se acerquen a 4 por un lado y otra con números que se acerquen a cuatro por el otro lado.
| X | 3,8 | 3,9 | 3,99 | 3,999 |
| F(X)= 2x + 1 | 8,6 | 8,8 | 8,98 | 8,998 |
Observando esta tabla podemos decir que nos acercamos a 4 por la izquierda, ya que los valores de x que le doy a la función son números que se acercan a 4 por ese lado.
| X | 4,1 | 4,05 | 4,01 | 4,001 |
| F(X)= 2x + 1 | 9,2 | 9,1 | 9,02 | 9,002 |
Observando esta tabla podemos decir que nos acercamos a 4 por la derecha, ya que los valores de x que le doy a la función son números que se acercan a 4 por ese lado.
2º) representemos gráficamente las dos tablas de valores.
Es importante saber que no nos interesa saber como se comporta la función cuando x vale 4, sino que nos interesa analizar que sucede cuando x se acerca por la izquierda a 4 y que sucede cuando x se acerca por la derecha a 4.
Observando las dos tablas de valores y el grafico: ¿A que numero tiende la función cuando x se aproxima por la izquierda y por la derecha a 4?
Mientras mas nos aproximamos a 4 se puede ver que estamos al límite de tocar a la función cuando x vale 4.
El límite de la función cuando x tiende a 4 por la izquierda es igual a 9; y esto lo vamos a escribir como:
Lim 2x + 1: 9
x → 4-
Y que el límite de la función cuando x tiende a 4 por la derecha es igual a 9, y esto lo vamos a escribir como:
Lim 2x + 1: 9
x → 4+
Entonces como los límites dan por resultado el mismo numero, son iguales.
Con esto podemos decir que el límite de la función para x teniendo a 4 es 9.
Lim 2x + 1= 9
x → 4
Conclusión:
Cuando analizamos el límite de una función en un punto dado por izquierda o por derecha y dan el mismo resultado, entonces existe el límite de la función en ese punto.
La notación de escritura usando la abreviatura lim con la flecha debajo es debido a Hardy en su libro A Course of Pure Mathematics en 1908
Ejemplo 2:
Ahora analicemos el límite de la función 1 cuando x tiende a cero, o sea:
x 
Lim 1 =
x → 0 x
Primero: Hagamos dos tablas de valores con números que se acerquen a cero por la izquierda y por la derecha como lo hicimos en el ejemplo anterior.
| X | -1 | -0.1 | -0.01 | -0.001 |
| F(X)= 1/x | -1 | -10 | -100 | -1000 |
Nos acercamos a cero por la izquierda.
| X | 1 | 0.1 | 0.01 | 0.001 |
| F(X)= 1/x | 1 | 10 | 100 | 1000 |
Nos acercamos a cero por la derecha.
Segundo: Hagamos un grafico aproximado.
Pregunta uno:
¿Que es lo que va sucediendo cuando “x” se acerca cada vez mas a cero por la izquierda?
Entonces podemos decir que:
Pregunta dos:
¿Qué es lo que va sucediendo cuando “x” se acerca cada vez más a cero por la derecha?
Entonces podemos decir que:
En este caso los límites laterales no dan el mismo resultado, o sea:
Por lo tanto como no dan el mismo resultado los límites laterales, decimos que el límite de la función cuando x vale cero no existe; o sea:
Lim 1/x = NO EXISTE
Analizando al cero:
Pregunta:
¿Por qué motivo les parece que no existe el límite?
Esto surge porque en la matemática no se puede dividir por cero, y como la segunda función es 1/x ,si x=0 quedaría: 1/0 y eso no tiene una solución real.
El problema surgió en el año 650, cuando en la india se comenzó a masificar el uso del cero y los números negativos. El primero en aproximarse al planteamiento de este problema fue el matemático indio Bhaskara, quien escribió que:
nº / 0 = ∞
Ejemplo 1:
Veamos un ejemplo:
Sea a = b, multiplicando ambos lados de la igualdad por b, se obtiene:
a.b = b.b
a.b = b2
Luego, restando de la igualdad a2:
ab - a2 = b2 - a2
Factorizando:
a (b-a) = (a+b) (b-a)
Y simplificando por el término (b-a):
a = a + b
Puesto que a = b, entonces la expresión es equivalente a:
a = a + a =
Entonces,
1 = 2, lo cual es imposible que un número sea igual a otro.
El error en este procedimiento está al simplificar el dividiendo (b-a): al ser b=a, la expresión b-a es igual a cero, y como no dijimos antes no se puede dividir por cero ya que los resultados no serian lógicos para nuestra matemática.
Ejemplo 2:
Supongamos que vamos a una tienda de artículos con $ 100, y en la tienda cada producto sale $ 100, ¿Cuántos productos puedo comprar?
$100/ $100 = 1 producto
Ahora supongamos que vamos a otra tienda que cada producto cuesta $ 10, ¿cuantos productos puedo comprar?
$100/ $10 = 10 productos
¿Y si vamos a una tienda que sale $ 1?
$100/ $1 = 100 productos
Ahora, ¿y si vamos a una tienda en donde los productos son gratis?
$100/ $0 = infinitos productos
Nos podemos llevar todos los productos, o sea infinitos.
(Este resulta ser un buen ejemplo para que los alumnos comprendan el concepto)
Hay una frase muy interesante que dice:
“Los agüjeros negros son aquellos lugares en donde dios se dio cuenta que no pudo dividir por cero”
Aclaración:
Teniendo en cuenta este dato importantísimo para la matemática debemos notar que si analizamos el límite de una función en un punto que reemplazado en la misma me produce que el denominador de por resultado cero, este no va a existir, ya que ese punto no pertenece a la función.
Sabiendo esto intentemos resolver los siguientes límites:
Ejercicio:
¨ Hallar los limites de las siguientes funciones en los puntos indicados y graficar:
1- lim X – 1= 3- Lim X + 2 =
x→2 x→ -1 X + 1
2- Lim 7 = 4- Lim X =
x→3 X – 3 x→0 X + 1
LIMITES INDETERMINADOS:
Para lograr que los alumnos comprendan límites indeterminados, les voy a dar un ejercicio en donde la solución aparente de ese límite sea: 0
0
Ejemplo 1: Hallar el límite de la función cuando x=1
Lim (X – 1)^2 =
x→1 X – 1
Si evaluamos la función en ese punto vamos a notar que el resultado va a ser 0
0
A este tipo de límites lo vamos a llamar indeterminados, pero estos límites se pueden salvar, o sea se puede llegar a un resultado real aplicando propiedades que conocemos.
Lim (X^2 – 1) = Lim (X – 1).(X + 1) = Lim X + 1 = 2
Observación: todas las indeterminaciones 0 se simplifican
0
Resolvamos algunos ejercicios :
calcular los siguientes límites:
1- Lim X^2 - 9 3 - Lim X^2 - 1
x→ -3 X + 3 x→1 X - 1
2- Lim X + X 4 - Lim X^2 - 4X + 3
x→0 X x→3 X^2 – 9
LIMITES PARA X TENDIENDO A INFINITO:
Ahora estudiaremos como se comporta una función, pero esta ves no lo vamos a hacer en el entorno de un punto, sino cuando x crece indefinidamente o decrece.
Ejemplo 1:
Sea f(x)= 2x + 1 vamos a averiguar que sucede cuando x crece indefinidamente, primero vamos a dibujar la función:
Ahora se puede ver que a medida que avanzamos sobre el eje x la función crece cada vez más, o sea que crece indefinidamente, o sea infinitamente. Entonces podemos escribir este Límite de esta manera:
Lim 2X + 1 = + ∞
De la misma manera si nos movemos por el eje x indefinidamente decreciendo, se puede ver que la función decrece infinitamente, por lo tanto:
Lim 2X + 1= - ∞
Ejemplo 2:
Veamos como quedaría el Límite de la función: f(x)= 1
X + 1
Primero resolvámoslo gráficamente:
En esta función podemos ver que si x crece indefinidamente en cualquiera de los dos sentidos, toma valores que se acercan cada ves mas a cero, entonces:
Lim 1 = 0
x→ +∞ X + 1
Lim 1 = 0
x→ -∞ X + 1
Ejercicios de aplicación:
Ahora resolvamos ejercicios donde podamos aplicar los nuevos conocimientos.
1- completar:
Lim F(x) = ......... Lim F(x)= ..........
x→1- x→1+
Lim F(x)= .......... Lim F(x) = ..........
x→ +∞ x→ -∞
Lim F(x) = ......... Lim F(x)= ..........
x→1- x→1+
Lim F(x)= .......... Lim F(x) = ..........
x→ +∞ x→ -∞
Propiedades de los Límites:
Ahora veamos algunas propiedades que necesitaremos para resolver los Límites que no son tan fáciles de hallar.
Propiedades:
Lim (f(x) + g(x)) = Lim f(x) + Lim g(x) = L + L
Lim (f(x) . g(x)) = Lim f(x) . Lim g(x) = L . L
Ahora que ya conocemos las propiedades de los límites resolvamos los siguientes ejercicios:
1- Lim 3x^5 + 5x 2- Lim x^3 -1
3- LIm 3x + 3 4- Lim 2x^2 - 7x + 3
x→1 x^2 + 2x + 1 x→1 2x^2 - 5x + 2
